Titlu: Ecuațiile polinomiale și inovația propusă de Norman Wildberger: Viitorul fără radicali?
Ecuațiile polinomiale — ecuații algebrice ce implică puteri ale variabilei x — constituie o bază esențială în matematică și fizică, având aplicații diverse, de la calculul traiectoriilor obiectelor cerești până la structura internă a algoritmilor software. Însă, în ciuda importanței lor, aceste ecuații ascund enigme nerezolvate complet de mai bine de două secole.
Una dintre provocările majore în matematică a fost înțelegerea ecuațiilor polinomiale de gradul cinci sau mai mare. Deși ecuațiile de gradul întâi, al doilea, al treilea și chiar al patrulea pot fi rezolvate folosind formule generale, s-a demonstrat la începutul secolului XIX că ecuațiile de gradul cinci sau mai mari nu admit, în general, o soluție completă prin metode clasice.
Această limitare nu este întâmplătoare. Renumitul matematician francez Évariste Galois a arătat în 1832 că imposibilitatea provine din complexitatea simetriilor matematice implicate în aceste ecuații, codificate prin conceptul cunoscut astăzi sub numele de teoria grupurilor. Practic, structura internă a ecuației devine prea complicată pentru a permite o rezolvare simplă folosind rădăcini și operații tradiționale.
O provocare pentru paradigma actuală: Soluții fără numere iraționale
Norman Wildberger, profesor de matematică la Universitatea din New South Wales, Sydney, a venit cu o idee îndrăzneață ce a șocat comunitatea matematică internațională: eliminarea totală a numerelor iraționale din procesele de rezolvare.
„Nu accept numerele iraționale,” a declarat Wildberger într-un interviu prezentat de revista Popular Science. El susține că metodele tradiționale care implică numere precum √2 sau π sunt impracticabile din punct de vedere computațional, necesitând „o cantitate infinită de muncă și un hard disk mai mare decât universul” pentru a fi reprezentate cu exactitate.
În locul folosirii radicalilor sau a valorilor iraționale, Wildberger propune o abordare diferită, în care ecuațiile sunt rezolvate prin metode bazate pe funcții matematice fundamente: adunare, înmulțire și ridicare la pătrat. Această metodologie ar permite un control mai strict al preciziei și al logicii computaționale, funcționând totodată ca o reconstrucție esențială a logicii algebrice.
Serii de puteri și legături surprinzătoare cu numerele Catalan
Una dintre aplicațiile faimoase ale acestei teorii a fost testarea ei într-o ecuație cubică din secolul XVII, utilizată de matematicianul englez John Wallis pentru a susține metodele lui Newton. În colaborare cu informaticianul Dean Rubine, Wildberger a aplicat o formulă bazată pe serii de puteri – expresii infinite ce implică termeni de ordin crescător, care permit o aproximație eficientă a soluției fără a recurge la radicali.
Wildberger afirmă că rezultatele sunt promițătoare: „Funcționează excelent,” a declarat el.
De asemenea, el a evidențiat o posibilă legătură între această metodă și numerele Catalan – o secvență notabilă în matematică. Numerele Catalan sunt conectate la diverse structuri combinatorice, cum ar fi numărul de modalități în care un poligon convexe poate fi divizat prin diagonale neintersectate. Acestea apar de asemenea în biologie, reprezentând structuri moleculare ale ARN-ului.
Wildberger sugerează că pentru a rezolva ecuații de grad superior, matematica ar putea necesita o extindere a acestor concepte — „analogi superiori ai numerelor Catalan” — care să reflecte complexitatea crescută a acestor probleme.
Implicarea în educație, algoritmică și științe exacte
Propunerea lui Wildberger nu este doar o curiozitate teoretică. Dacă metoda sa se dovedește eficientă și aplicabilă în caz
